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目 录

第 1 章 实数集、函数及其应用 ................................................ (1)

1.1 实数集................................................................ (1)

1.1.1 实数集及其性质 ................................................ (1)

1.1.2 绝对值与不等式 ................................................ (1)

1.1.3 区间与邻域 ..................................................... (2)

1.1.4 确界原理 ....................................................... (3)

习题 1.1 ............................................................... (4)

1.2 函数................................................................. (5)

1.2.1 函数的概念 ..................................................... (5)

1.2.2 函数的某些特性 ................................................ (9)

习题 1.2 .............................................................. (11)

1.2.3 应用事例与探究课题 ........................................... (13)

第 2 章 极限及其应用 .................................................... (16)

2.1 数列极限及其应用 ..................................................... (16)

2.1.1 数列极限的概念 ............................................... (16)

2.1.2 收敛数列的性质 ............................................... (19)

2.1.3 数列收敛性的判别 ............................................. (22)

习题 2.1 .............................................................. (27)

2.1.4 应用事例与探究课题 ........................................... (29)

2.2 函数极限及其应用 ..................................................... (32)

2.2.1 函数极限的概念 ............................................... (32)

2.2.2 函数极限的性质 ............................................... (35)

2.2.3 函数极限存在的判别 ........................................... (38)

2.2.4 无穷小与无穷大 ............................................... (42)

习题 2.2 .............................................................. (44)

2.2.5 应用事例与探究课题 ........................................... (46)

第 3 章 连续性及其应用 .................................................. (48)

3.1 函数的连续性及其应用................................................. (48)

3.1.1 函数连续的概念 ............................................... (48)

3.1.2 连续函数的基本性质与初等函数的连续性 ...................... (51)

3.1.3 闭区间上连续函数的性质 ...................................... (52)

习题 3.1 .............................................................. (58)

3.1.4 应用事例与探究课题 ........................................... (61)

3.2 实数的连续性及其应用................................................. (63)

3.2.1 闭区间套定理 ................................................. (63)

3.2.2 聚点定理 ...................................................... (64)

3.2.3 有限覆盖定理 ................................................. (66)

习题 3.2 .............................................................. (67)

第 4 章 一元微分学及其应用 ............................................... (68)

4.1 导数及其应用.......................................................... (68)

4.1.1 导数的定义 .................................................... (68)

习题 4.1 .............................................................. (72)

4.1.2 求导法则 ...................................................... (73)

习题 4.2 .............................................................. (77)

4.1.3 隐函数与参数方程所确定的导数 ............................... (79)

习题 4.3............................................................... (81)

4.1.4 高阶导数 ...................................................... (81)

习题 4.4 .............................................................. (83)

4.1.5 应用事例与探究课题 ........................................... (84)

4.2 微分................................................................ (86)

4.2.1 微分的定义 .................................................... (86)

4.2.2 微分的运算法则 ............................................... (88)

4.2.3 高阶微分 ...................................................... (89)

习题 4.5 .............................................................. (90)

4.3 微分学基本定理及其应用 .............................................. (90)

4.3.1 中值定理 ...................................................... (90)

习题 4.6 .............................................................. (95)

4.3.2 待定式极限 .................................................... (96)

习题 4.7 .............................................................. (99)

4.3.3 泰勒公式 ..................................................... (100)

习题 4.8 ............................................................. (104)

4.3.4 函数的单调性与极值 ......................................... (105)

习题 4.9 ............................................................. (108)

4.3.5 函数的凸性与拐点 ........................................... (110)

习题 4.10 ............................................................ (113)

4.3.6 曲线的渐近线与函数的图像 ................................... (113)

习题 4.11 ............................................................ (116)

4.3.7 应用事例与探究课题 ......................................... (116)

第 5 章 一元积分学及其应用 .............................................. (120)

5.1 不定积分及其应用.................................................... (120)

5.1.1 不定积分的概念 .............................................. (120)

习题 5.1 ............................................................. (122)

5.1.2 换元积分法与分部积分法 ..................................... (123)

习题 5.2 ............................................................. (127)

5.1.3 有理函数与可化为有理函数的不定积分 ....................... (128)

习题 5.3 ............................................................. (133)

5.1.4 应用事例与探究课题 ......................................... (134)

5.2 定积分及其应用 ...................................................... (136)

5.2.1 定积分的概念与可积条件 ..................................... (136)

习题 5.4 ............................................................. (142)

5.2.2 定积分的性质 ................................................ (143)

习题 5.5 ............................................................. (147)

5.2.3 微积分学基本定理 ............................................ (148)

习题 5.6 ............................................................. (153)

5.2.4 应用事例与探究课题 ......................................... (155)

5.3 定积分的应用 ........................................................ (157)

5.3.1 微元法 ....................................................... (157)

5.3.2 平面图形的面积 .............................................. (158)

5.3.3 利用平行截面面积求体积 ..................................... (161)

5.3.4 平面曲线的弧长 .............................................. (163)

5.3.5 旋转曲面的面积 .............................................. (165)

习题 5.7 ............................................................. (166)

5.3.6 应用事例与探究课题 ......................................... (167)

5.4 反常积分及其应用.................................................... (168)

5.4.1 无穷积分 ..................................................... (168)

习题 5.8 ............................................................. (172)

5.4.2 瑕积分 ....................................................... (173)

习题 5.9 ............................................................. (178)

5.4.3 应用事例与探究课题 ......................................... (179)

第 6 章 常微分方程、常差分方程及其应用 ................................... (182)

6.1 常微分方程及其应用.................................................. (182)

6.1.1 基本概念 ..................................................... (182)

6.1.2 初等积分法 ................................................... (183)

习题 6.1 ............................................................. (191)

6.1.3 线性微分方程组 .............................................. (193)

习题 6.2 ............................................................. (204)

6.1.4 高阶线性微分方程 ............................................ (205)

习题 6.3 ............................................................. (213)

6.1.5 应用事例与探究课题 ......................................... (213)

6.2 常差分方程及其应用.................................................. (214)

6.2.1 基本概念 ..................................................... (214)

6.2.2 线性常差分方程 .............................................. (215)

习题 6.4 ............................................................. (219)

参考文献 ............................................................（220）